Un dels temes que més porta de corcoll als estudiants la primera vegada que el veuen, són les derivades. Un cop passat a les integrals sembla senzill i tot, les derivades són mecàniques, simplement és aprendre's quatre normes i tenir una mica de vista per saber quan aplicar-les. Quan aprenem a sumar sembla difícil fins que ens ensenyen a restar, quan aprenem a multiplicar sembla difícil fins que aprenem a dividir. Doncs quan aprenem a derivar sembla difícil fins que aprenem a integrar.
Ara bé, tot resulta més simple quan entenem bé quin és el seu significat. Una suma o resta és anar afegint o eliminant unitats. En una multiplicació afegeixes paquets d'unitats i en una divisió reparteixes les unitats en paquets. Amb tot això és important saber llegir el llenguatge matemàtic, entendre els parèntesis com comes i entendre que el significat canvia tant com quan a una frase li canviem les comes de lloc.
Per entendre les derivades hem de saber llegir les funcions i imaginar-nos la seva representació gràfica. De funcions n'hi ha de diferents tipus i depenent de quin tipus tinguem hem de seguir unes regles o altres a l'hora de derivar. Però quina informació ens aporta una derivada? Probablement una de les frases que més m'ha quedat gravada del batxillerat és "la derivada és el pendent de la recta tangent en un punt". Cada punt d'una funció té una recta tangent pròpia i el valor que ens dóna la derivada d'una funció a cada punt coincideix amb el valor del pedent de la recta tangent en aquell punt. És a dir: ens descriu el creixement o decreixement d'una gràfica. Si la derivada ens dóna un valor de 5, la tangent d'aquell punt tindrà un pendent de 5, per cada unitat que avanci cap a la dreta, en pujarà cinc.
Si entrem més en la definició, una derivada ens diu quina és la variació entre dos punts (y) d'una funció separats una part (x) tant petita que pràcticament és zero. Això, matemàticament ho escrivim així:
Totes les fòrmules que aprenem de les derivades són dreceres que s'obtenen a partir d'aquesta d'aquí.
Sovint recorrem a altres ciències per posar exemples pràctics de conceptes teòrics. En aquest cas, les derivades són fàcils d'entendre si les apliquem a la física. Concretament a la cinemàtica, és a dir a l'estudi del moviment. Per estudiar el moviment partim de la formula bàsica que ens diu la posició d'un cos (x) respecte el temps (t). Al cap i a la fi això és una funció: x en funció de t. És evident que la posició dependrà de la velocitat i de l'acceleració. La velocitat és la variació de la posició en funció del temps... És a dir, la derivada de la funció que ens donava la posició. I l'acceleració... és la variació de la velocitat en funció del temps, és a dir, la derivada de la funció que ens donava la velocitat (o la segona derivada de la posició). Veiem un exemple practic:
Amb tot això del coronaviurus, estem pendents del ritme d'infectats i esperem que disminueixi. Quan diem que el ritme de creixement es redueix no vol dir que cada dia no tinguem nous infectats i més nombre de persones infectades sinó que cada dia en tenim menys de nous. És a dir, la derivada de la funció que ens dóna el nombre d'infectats és cada cop més petita. Arribarà un moment en què aquesta derivada serà 0: haurem arribat al pic, el punt on hi haurà el màxim nombre de nous infectats i a partir d'aquí la corba baixarà. En el descens el pendent serà negatiu i per tant la derivada tindrà valors negatius.
Ara bé, si vam dir que el nombre d'infeccions seguia un creixenent exponencial, us preguntareu com pot ser que hi hagi un pic. Les funcions exponencials creixen cada cop més ràpid i arriben a infinit. De fet, la derivada de ex és la mateixa funció ex. L'explicació de tot això ens la donen models matemàtics de corbes epidemiològiques com aquest. La imatge és extreta de la Viquipèdia i és un model senzill: en verd veiem el nombre d'infectats que veieu que comença amb un creixement exponencial. Però hi ha un moment que frena i canvia la tendència... I això és degut a que no tenim una població infinita, el nombre de persones susceptibles disminueix. I la velocitat de propagació depen en part d'això. En vermell són les persones recuperades que han adquirit immunitat... I per tant encara disminueixen més el nombre de persones susceptibles.
